Bundesliga - Theoretische Punkterekorde
Die Bundesliga-Saison 2016 / 17 neigt sich dem Ende entgegen und es wird wieder viel gerechnet, wer absteigen und wer Meister werden kann. Gut, die Meisterschaft ist bereits entschieden, gerechnet wird aber auch bei anderen Plätzen.
Es gibt den Leitsatz, dass 40 Punkte auf jeden Fall für den Nichtabstieg genügen. In der Realität sind es weniger, in den letzten Jahren sogar wesentlich weniger gewesen. Mathematisch fundiert ist diese These natürlich nicht. Was sind aber die mathematischen Maximal- und Minimalwerte, wenn es um Meisterschaft und Abstieg geht? Lassen sich diese einfach berechnen?
Ein Versuch der Herleitung.
Bedingungen: - 18 Teams nehmen an der Liga teil - Jeder spielt zweimal gegen jeden, insgesamt ergeben sich damit 34 Spieltage - Ein Sieg gibt 3 Punkte, bei einem Unentschieden erhalten beide Mannschaften je einen Punkt. - Die Rangliste ergibt sich aus der Anzahl der Punkte, bei Punktgleichheit entscheidet die Tordifferenz. (Es folgen weitere Regeln, als letzte Möglichkeit entscheidet das Los). - Der Beste darf sich Meister nennen. - Die beiden schlechtesten Mannschaften steigen ab, der Drittletzte muss in zwei Relegationsspielen gegen den Drittbesten der zweiten Liga um den Ab- bzw. Aufstieg spielen.
Meisterschaft
Wie viele Punkte muss man mindestens holen, um sicher Meister zu sein? Mit wie wenigen Punkten kann man auf keinen Fall Meister werden?
Sichere Meisterschaft
100 Punkte
Die maximal erreichbare Punktzahl beträgt 102. 99 Punkte können zwei Mannschaften erreichen, wenn sie alle Spiele außer dem Duell gegeneinander gewinnen. Wenn dort jede Mannschaft ein Spiel gewinnt, haben beide 99 Punkte und das Torverhältnis entscheidet. Theoretisch kann es damit passieren, dass eine Mannschaft mit 99 Punkten nicht Meister wird.
Zwei Mannschaften können in einer Saison nicht gleichzeitig 100 Punkte erreichen. Dies ist nur bei 33 Siegen und einem Unentschieden möglich. Da die beiden Mannschaften zweimal gegeneinander spielen muss entweder eine Mannschaft mindestens ein Spiel verlieren oder beide Partien unentschieden ausgehen. In beiden Fällen verliert eine Mannschaft mehr als zwei Punkte und kann keine 100 erreichen.
100 Punkte sind auch erreichbar, bei 33 Siegen und einem Unentschieden und damit die geringste Punktzahl für eine sichere Meisterschaft.
Minimale Punktzahl als Meister
34 Punkte
Ein Meister hat mindestens 34 Punkte. Dies kann eintreten, wenn alle Spiele der Liga unentschieden enden. Das Torverhältnis und ggf. das Los entscheiden dann über die Meisterschaft. Dann hätten Meister und Absteiger dieselbe Punktzahl.
33 Punkte können nicht genügen. Wenn alle Spiele unentschieden enden wird die geringstmögliche Gesamtzahl an Punkten vergeben, nämlich 34 $\cdot$ 18. In diesem Fall haben alle Mannschaften 34 Punkte. Hat eine Mannschaft nur 33 Punkte muss es zwingend eine Mannschaft geben, die mehr Punkte hat. Könnte sie damit Meister werden, könnte keine andere Mannschaft mehr als 33 Punkte haben. Die Gesamtzahl der Punkte wäre demnach maximal 33 $\cdot$ 18 und damit kleiner als möglich.
Maximalpunktzahl
102 Punkte
Die Saison hat 34 Spieltage. Gewinnt eine Mannschaft alle Spiele, kann sie maximal 34 $\cdot$ 3 $=$ 102 Punkte erreichen.
Abstieg
Wann ist man auf jeden Fall gerettet und mit wie wenigen Punkten kann man die Klasse halten, wenn die übrigen Ergebnisse mitspielen?
Sicherer Klassenerhalt
58 Punkte
Die magische 40-Punkte-Regel gilt natürlich nicht bei einer theoretischen Betrachtung, man kann auch mit deutlich mehr Punkten absteigen. Nehmen wir an, alle Spiele enden mit einem Sieg der Heimmannschaft. Dann hat am Ende der Saison jede Mannschaft 17 $\cdot$ 3 = 51 Punkte. Meister und Absteiger werden über die Tordifferenz bzw. das Los ermittelt. Für die weitere Betrachtung ist außerdem wichtig, dass keine Punkte durch ein Unentschieden “vernichtet” werden, die Gesamtzahl der vergebenen Punkte beträgt 18 $\cdot$ 51 = 918.
Eine Mannschaft hat die Klasse dann gehalten, wenn sie mindestens Platz 15 belegt, also drei Mannschaften hinter sich gelassen hat. Um sicherzugehen, dass nicht das Torverhältnis zur Ermittlung der Platzierung benötigt wird, ist für den sicheren Klassenerhalt erforderlich, einen Punkt mehr zu haben als die Mannschaft auf Platz 16.
Die Idee ist nun, von obigem Beispiel mit ausschließlichen Heimsiegen und der maximalen Zahl an Gesamtpunkten ausgehend, die Punkte so umzuverteilen, dass die Punktzahl für den 16. maximal wird.
Beginnen wir also mit der Situation, dass am Ende der Saison alle Mannschaften 51 Punkte haben. Die Punkte der Mannschaften auf Platz 17 und 18 können wir umverteilen. Für den Abstieg ist egal, wie wenige Punkte sie haben, Platz 16 ist entscheidend. Da beide Mannschaftenauch gegeneinander spielen können sie am Ende der Saison nicht beide 0 Punkte haben. Verlieren die beiden aber alle anderen Spiele, so können wir jeder anderen Mannschaft im Vergleich zum obigen Beispiel 6 Punkte addieren. Die Plätze 1 bis 16 haben dann je 57 Punkte, die beiden Absteiger 3. Die Gesmatzahl aller vergebenen Punkte ist weiterhin 918.
Um in diesem Szenario nicht abzusteigen, benötigt man mindestens 58 Punkte. Der 16. hat ja 57. Dass in diesem Fall eine andere Mannschaft ebenfalls Punkte einbüßt und weniger als 57 Punkte hat, ist irrelevant für das Argument und bedeutet nicht, dass 57 Punkte genügen. Wir haben ja gerade gezeigt, dass man mit diesen 57 Punkten absteigen kann.
Nun sollten wir noch zeigen, dass man mit 58 Punkten nicht absteigen kann, es also kein anderes Szenario gibt, das unsere Überlegungen wieder zunichtemacht. Angenommen, man könnte mit 58 Punkten absteigen. Dann müsste der 16. mindestens diese 58 Punkte haben. Alle Vereine darüber natürlich auch. Die beiden letztplatzierten benötigen zusammen mindestens 2 Punkte aus den Spielen gegeneinander.
In Summe haben wir dann $16 \cdot 58 + 2 = 930$ Punkte. Und damit mehr Punkte als überhaupt in einer Saison vergeben werden. Der 16. kann am Saisonende also keine 58 Punkte haben, damit genügen 58 Punkte sicher zum Klassenerhalt. Da man mit 57 Punkten absteigen kann ist dies auch die Mindestpunktzahl, mit der man auf jeden Fall die Klasse hält.
Maximalpunktzahl bei Abstieg
57 Punkte
Wie eben gezeigt benötigt eine Mannschaft mindestens 58 Punkte, um die Klasse sicher zu halten. Damit kann ein Absteiger maximal 57 Punkte haben.
Minimalpunktzahl bei Nichtabstieg
4 Punkte
Für einen Nichtabstieg muss man mindestens Platz 16 erreichen und dann die Relegationsspiele erfolgreich bestreiten. Um Platz 16 zu erreichen muss man mindestens zwei Mannschaften hinter sich lassen.
Da alle Mannschaften zweimal gegeneinander spielen können nicht mehrere Mannschaften 0 Punkte erzielen. Die drei schlechtesten Mannschaften können ansonsten alle Spiele verlieren, wenn sie gegeneinander spielen können zumindest nicht alle verlieren. Die geringste Gesamtpunktzahl wird erreicht, wenn alle Spiele Unentschieden enden. Jede Mannschaft spielt doppelt gegen die beiden anderen, hat am Ende also 4 Punkte. Damit würde die Tordifferenz über die direkten Abstiegsplätze und die Relegation entscheiden.
4 Punkte sind also eine obere Schranke. Kann ein Team mit nur 3 Punkten nicht absteigen? Dann müsste es zwei andere Teams geben, die ebenfalls 3 oder weniger Punkte haben. Da alle Teams zweimal gegeneinander spielen, finden zwischen diesen 3 Mannschaften (die potentiell die Plätze 16 bis 18 belegen) insgesamt 6 Spiele statt. In diesen Spielen werden damit insgesamt mindestens 12 Punkte vergeben, die auf die Mannschaften verteilt werden müssen. Verteilt man diese Punkte gleich, bekommt jede 4. Hat eine Mannschaft weniger als 4 Punkte, so muss eine andere mehr haben.
Die Mannschaft mit weniger als 4 Punkten stünde damit auf einem Abstiegsplatz, folglich muss eine Mannschaft mindestens 4 Punkte erreichen, damit sie auch theoretisch die Klasse erhalten kann.
Maximalpunktzahl für sicheren Abstieg
3 Punkte
Wie oben bewiesen sind 4 Punkte die Minimalpunktzahl, die genügen können, nicht abzusteigen. Mit 3 Punkten wäre man damit sicher abgestiegen, also die maximale Punktzahl, mit der man auf jeden Fall absteigt. Diese Punktzahl ist auch erreichbar, beispielsweise durch einen Sieg und 33 Niederlagen der betreffenden Mannschaft. Alle anderen Ergebnisse können beliebig ausfallen.